Calcule a integral definida abaixo:

∫ - 1 1 3 x 2 - 4 x + 7 d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que :

∫ - 1 1 3 x 2   d x -   ∫ - 1 1 4 x   d x +   ∫ - 1 1 7   d x

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

∫ - 1 1 3 x 2   d x -   ∫ - 1 1 4 x   d x +   ∫ - 1 1 7   d x =

= 3 ∫ - 1 1 x 2   d x -   4 ∫ - 1 1 x   d x +   7 ∫ - 1 1   d x   = 3 x 3 3 1 - 1 - 4 x 2 2 1 - 1 + 7 ( x ) 1 - 1

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

3 1 3 - - 1 3 - 4 1 2 - 1 2 + 7 1 - - 1 = 3 2 3 - 0 + 7 2 = 2 + 14 = 16

Resposta

16

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