Responde Aí

Enunciado

Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em torno do eixo y e anéis são usados, devemos integrar em relação a y. No entanto, pode não ser possível expressar o integrando em termos de y . Em tais casos, o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y. Os Exercícios 29 e 30 fornecem uma compreensão clara disso.

30 – Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y   =   x   +   4 , y   =   x e x   = 0 em torno

C – da reta x = 4, usando o método da casca.

Passo 1

Antes de realizar o que se pede, iremos plotar o gráfico das funções dadas, assim teremos esta figura que segue os limites de 4 e 0.

Desta forma utilizaremos primeiro o método do anel em torno do eixo x.

Agora acharemos as equações para o eixo y:

P r i m e i r a   :   2 y = x + 4 → y = x + 4 2 ⇒ y = x 2 + 4 2 ,   y = x 2 + 2

S e g u n d a : y = x

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

r a i o = 4 - x ,   a l t u r a x 2 + 2 - x

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 4 4 - x x 2 + 2 - x   d x

V = 2 π ∫ 0 4 8 - 4 x + 1 2 x 2   d x

Resolvendo a integral teremos:

2 π 8 x - 4 x 2 2 + x 3 6 0 4 = 2 π 8 x - 2 x 2 + x 3 6 0 4

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 8 ⋅ 4 - 2 ⋅ 4 2 + 4 3 6 - 8 ⋅ 0 - 2 ⋅ 0 2 + 0 3 6  

Resolvendo:

2 π 32 - 32 + 64 6 = 2 π 64 6 = 2 π 32 3

64 π 3 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

64 π 3   u . v .

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sól