Enunciado

Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.

Passo 1

Para solucionarmos esse exercício precisamos lembrar um pouco da parte de derivadas para nos ajudar a começar a resolver. Nisso, o essencial vai ser saber os métodos de derivação pra calcular cada caso e, pra isso, pega uma tabelinha ou uma lista de derivadas e vamos começar!!

Passo 2

Então, primeiro precisamos saber qual método de derivação é adequado pra calcular o que é dado. Para o primeiro termo basta fazer a derivação direta. Já para o outro termo, podemos usar a derivação pela regra do produto que é dada por:

f x ∙ g x ' = f ' x ∙ g x + f x ∙ g ' x

Então, a partir da função inicial dada, vamos definir para a regra do produto:

f x = x e g x = c o s x

Precisamos encontrar a derivada de cada uma delas para substituir na equação da regra da cadeia. Portanto:

f ' x = 1

E

g ' x = - s e n x

Logo:

d d x s e n x - x c o s x = c o s x - 1 c o s x + x - s e n x

d d x s e n x - x c o s x = x s e n x

Passo 3

Encontrado o resultado da derivação, sabemos que a integral indefinida é como o caminho “inverso” ao da derivada (dito antiderivada). Pelo Teorema no item 5.2 . 2 (na página 323 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON), temos que essa integral indefinida de uma função f x em um intervalo aberto pode ser dada pela fórmula geral:

∫ f x d x = F x + C

Onde C é uma constante arbitrária.

Então, integrando esse último resultado, teremos a forma geral da antiderivada da função dada por:

∫ x s e n x d x = s e n x - x c o s x + C

Resposta

d d x s e n x - x c o s x = x s e n x

∫ x s e n x d x = s e n x - x c o s x + C

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