Calcule a integral definida

∫ 0 π ( 2 sen ⁡ x + 3 cos ⁡ x + 1 )   d x

usando os resultados:

∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2             ∫ 0 π cos ⁡ x   d x = 0 ∫ 0 π sin 2 ⁡ x   d x = 1 2 π

Passo 1

O que queremos aqui é decompor a integral, colocando-a em termos de ∫ 0 π sen ⁡ x d x   e   ∫ 0 π cos ⁡ x   d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

∫ a b f x + g x d x =   ∫ a b f x d x +   ∫ a b g x d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

∫ a b k   f x d x = k ∫ a b f x d x

Ou seja, podemos retirar um número constante para fora da integral. Usando essas duas propriedades, separaremos a integral.

Passo 2

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para separar a integral em três:

∫ 0 π 2 sen ⁡ x + 3 cos ⁡ x + 1 d x =   ∫ 0 π 2 sen ⁡ x d x + ∫ 0 π 3 cos ⁡ x d x + ∫ 0 π d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ 0 π 2 sen ⁡ x d x + ∫ 0 π 3 cos ⁡ x d x + ∫ 0 π d x =   2 ∫ 0 π sen ⁡ x d x + 3 ∫ 0 π cos ⁡ x d x + ∫ 0 π d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

2 ∫ 0 π sen ⁡ x d x + 3 ∫ 0 π cos ⁡ x d x + ∫ 0 π d x = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 + 1 π - 0 = 4 + π .

Resposta

∫ 0 π ( 2 sen ⁡ x + 3 cos ⁡ x + 1 )   d x = 4 + π

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