Suponha que f seja integrável e que ∫ 0 3 f z   d z = 3 e ∫ 0 4 f z   d z = 7 . Calcule:

  1. ∫ 3 4 f z   d z
  2. ∫ 4 3 f t   d t

Passo 1

Para resolver esta questão, precisamos descobrir alguma associação entre a integral de cada uma das letras com os valores das integrais já dados. Para isto, será de extrema importância usarmos e abusarmos das propriedades de integrais definidas, presentes na Tabela 5.4!!! Discutiremos cada uma das propriedades de acordo com a conveniência de cada letra.

Passo 2

A integral que precisamos calcular é:

∫ 4 3 f t   d t

A única diferença para a integral da questão é a variável de integração, que ao invés de ser z , é z . Esta mudança não afeta em nada o valor da integral. Se fizermos t = z d t = d z . Consequentemente, temos:

∫ 4 3 f z   d z

Passo 3

Agora, precisamos utilizar a regra da aditividade de integrais para obter uma integral com estes limites através das integrais que conhecemos. Desta forma, temos:

∫ 0 4 f z   d z = ∫ 3 4 f z   d z + ∫ 0 3 f z   d z

∫ 3 4 f z   d z = ∫ 0 4 f z   d z - ∫ 0 3 f z   d z

Consequentemente, temos:

∫ 3 4 f z   d z = 7 - 3 = 4

Passo 4

Para finalizarmos a questão, precisamos utilizar a propriedade da ordem de integração, desta forma, temos:

∫ 4 3 f z   d z = - ∫ 3 4 f z   d z

∫ 4 3 f z   d z = - 4

Logo,

∫ 4 3 f t   d t = - 4

Resposta

∫ 4 3 f t   d t = - 4

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