Calcule a integral definida

∫ - 1 2 ( x - 1 ) ( 2 x + 3 )   d x

usando os resultados:

∫ - 1 2 x 2 d x = 3                     ∫ - 1 2 x   d x = 3 2

Passo 1

Queremos decompor a integral, a colocando em termos de ∫ - 1 2 x 2 d x e ∫ - 1 2 x d x para substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Para isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

∫ a b f x + g x d x =   ∫ a b f x d x +   ∫ a b g x d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma. Uma outra propriedade diz que:

∫ a b k   f x d x = k ∫ a b f x d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.

Mas perceba que pra chegarmos na expressão em termos de ∫ - 1 2 x 2 d x e ∫ - 1 2 x d x precisamos primeiro resolver o produto ( x - 1 ) ( 2 x + 3 ) , para conseguirmos os fatores x e x 2 separados.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o produto. Fazendo uma distributiva, temos:

x - 1 2 x + 3 = 2 x 2 + 3 x - 2 x - 3 = 2 x 2 + x - 3

Então ficamos com a integral assim:

∫ - 1 2 ( x - 1 ) ( 2 x + 3 )   d x = ∫ - 1 2 2 x 2 + x - 3 d x

Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral através das propriedades e transformá-la em uma combinação de ∫ - 1 2 x 2 d x   e   ∫ - 1 2 x d x .

Passo 3

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em três:

∫ - 1 2 2 x 2 + x - 3 d x =   ∫ - 1 2 2 x 2 d x + ∫ - 1 2 x d x - ∫ - 1 2 3 d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ - 1 2 2 x 2 d x + ∫ - 1 2 x d x - ∫ - 1 2 3 d x =   2 ∫ - 1 2 x 2 d x + ∫ - 1 2 x d x - 3 ∫ - 1 2 d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

2 ∫ - 1 2 x 2 d x + ∫ - 1 2 x d x - 3 ∫ - 1 2 d x = 2 ⋅ 3 + 3 2 - 3 ( 2 - - 1 )

= 6 + 3 2 - 3 ⋅ 3 = 6 + 3 2 - 9 = - 3 + 3 2 = - 6 + 3 2 = - 3 2 .

Resposta

∫ - 1 2 x - 1 2 x + 3 d x =   - 3 2

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