Enunciado

Calcule a integral definida.

int_1^2 (e^(1 // x))/(x^2) d x

Passo 1

Devemos aqui calcular a integral definida usando algum tipo de substituição. Outra coisa importante que podemos usar é que para a integral definida, podemos mudar os limites de integração quando fazemos uma substituição.

Note que a derivada de 1 // x é - 1 // x^2 . Assim, a substituição u = 1 // x vai resolver nosso problema pois d u = - d x // x^2 .

Passo 2

Usando u = 1 // x , quando x = 1 , u = 1 e para x = 2 , u = 1 // 2 . Assim,

int_1^2 (e^(1 // x))/(x^2) d x = int_1^2 e^(1 // x) (d x)/(x^2) = - int_1^((1)/(2)) e^u d u

Calculando a integral:

int_1^2 (e^(1 // x))/(x^2) d x = - [e^u]_1^((1)/(2)) = - (e^(1 // 2) - e^1) = e - sqrt(e)

Resposta

e - sqrt(e)

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