Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R y e^(- x y) d A , R = [0,2] xx [ 0,3 ]

Passo 1

Como essa região é um retângulo o diferencial de área é ou d x d y ou d y d x . O que vai decidir a ordem é a facilidade de integração. Se considerarmos d x d y devemos fazer primeiro a integral em x (e com isso considerar y constante). Se fizermos o contrário, devemos considerar x como constante. Aqui o intervalo de x é 0 <= x <= 2 e o intervalo de y é 0 <= y <= 3 .

Em termos de integração eu acho que prefiro resolver em x primeiro, pois a integral da exponencial é a própria, então fica bem tranquilo. Assim vou escolher d x d y . Bora lá?

Passo 2

int_0^3 y int_0^2 e^(- x y) d x d y = int_0^3 y [- (1)/(y) e^(- x y)]_(x = 0)^(x = 2) d y = int_0^3 [ - e^(- 2 y) + 1 ] d y

Se tudo der certo ficamos com uma integral apenas em y ! Se liga nisso! Não pode sobrar nenhum x a partir daqui!

Passo 3

Continuando a integração...

int_0^3 [ - e^(- 2 y) + 1 ] d y = [(1)/(2) e^(- 2 y) + y]_0^3 = (e^(- 6))/(2) + 3 - (e^0)/(2) + 0 = (e^(- 6))/(2) + (5)/(2)

Resposta

(e^(- 6))/(2) + (5)/(2)

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2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:b) ∫ 0 2 ∫ - y y x y 2 + y d xd y
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:k) ∫ 0 1 ∫ 0 1 sec 3 ⁡ x d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:j) ∫ 0 1 ∫ 0 y x + y d xd y
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:f) ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d xd y
Calcular ∬_r^() f (x , y) d x d y , onde:d) f (x , y) = y ln x ; R é retângulo: 2 = x = 3 ; 1 = y = 2 .