Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição que converte o integrando em uma função racional.

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ

Passo 1

Avaliando a integral:

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ

Podemos usar a substituição : u = ⁡ sen ⁡ θ e d u = cos ⁡ θ :

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = ∫ d x x 2 + 4 x - 5

Que também pode ser reescrita como:

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = ∫ d x ( x + 5 ) ( x - 1 )

Agora, separando a função em frações parciais, temos:

1 x 2 + 4 x - 5 = A x + 5 + B x - 1 = A x - 1 + B ( x + 5 ) x 2 + 4 x - 5

Como os denominadores são iguais, podemos dizer que:

1 = A x - 1 + B ( x + 5 )

Podemos reescrever o valor de B se x = 1 , então B = 1 6 .

E o valor de A   se x = - 5 , então A = - 1 6 .

Substituindo os valores na integral:

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = - 1 6 ∫ 1 x + 5 d x + 1 6 ∫ 1 x - 1 d x

Integrando, temos:

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = 1 6 ln ⁡ x - 1 - 1 6 x + 5

Por propriedade:

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = 1 6 ln ⁡ x - 1 x + 5

Substituindo x :

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = 1 6 ln ⁡ sen ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ + 5

Resposta

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 4 sen ⁡ θ - 5 d θ = 1 6 ln ⁡ sen ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ + 5

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