Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int x^2 sqrt(x^3 + 1) d x , u = x^3 + 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral indefinida:

int x^2 sqrt(x^3 + 1) d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, e já nos foi dada qual substituição usar, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x^3 + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 x^2 + 0 d x = 3 x^2 d x -> x^2 d x = (1)/(3) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int x^2 sqrt(x^3 + 1) d x = int sqrt(u) ((1)/(3) d u) = int (sqrt(u))/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (sqrt(u))/(3) d u = int (u^((1)/(2)))/(3) d u :.

int (sqrt(u))/(3) d u = (1)/(3) int u^((1)/(2)) d u :.

int (sqrt(u))/(3) d u = (1)/(3) * ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) :.

int (sqrt(u))/(3) d u = (u^((3)/(2)))/((9)/(2)) :.

int (sqrt(u))/(3) d u = (2 u^((3)/(2)))/(9) + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x^3 + 1 :

int x^2 sqrt(x^3 + 1) d x = int (sqrt(u))/(3) d u :.

int x^2 sqrt(x^3 + 1) d x = (2 u^((3)/(2)))/(9) + C :.

= (2 (x^3 + 1)^((3)/(2)))/(9) + C

Resposta

int x^2 sqrt(x^3 + 1) d x = (2 (x^3 + 1)^((3)/(2)))/(9) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int sqrt((x - 1)/(x^5)) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int r^4 (7 - (r^5)/(1 0))^3 d r
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int r^2 ((r^3)/(18) - 1)^5 d r
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int x^((1)/(2)) sen (x^((3)/(2)) + 1) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int (1)/(sqrt(t)) cos (sqrt(t) + 3) d t