Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 t cos ⁡ t + 3 d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de cos ⁡ t com   t + 3 , então vamos fazer

u = t + 3

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = t + 3 → d u = t + 3 ' d t = 1 2 t d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 t cos ⁡ t + 3 d t

Temos então que

∫ 1 t cos ⁡ u d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 1 2 t d t → ( 2 ) d u = 2 1 2 t d t → 2 d u = 1 t d t

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 1 t cos ⁡ u d t = ∫ cos ⁡ u 2 d u = 2 ∫ cos ⁡ ( u ) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

2 ∫ cos ⁡ ( u ) d u = 2 sen ⁡ u + C = 2 s e n ⁡ ( u ) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 t cos ⁡ t + 3 d t = 2 s e n ⁡ ( t + 3 ) + C

Resposta

2 s e n ⁡ ( t + 3 ) + C

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