Enunciado

Calcule a integral indefinda

int ((2 + x) d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2))

Passo 1

int ((2 + x) d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2))

Quando temos um polinômio com só um grau menor em cima, a ideia é tentarmos fazer uma substituição chamando o denominador de a .Vamos ver como ficaria isso

4 - 2 x - x^2 = y -> (- 2 - 2 x) d x = d y -> - 2 (x + 1) d x = d y

Mas nosso numerador é x e não x + 1 , amos reescrevê-lo da seguinte forma:

2 + x = 1 + x + 1

Repara que não mudamos, mas substituindo na integra, vamos ter:

int ((2 + x) d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2)) = int ((1 + 1 + x) d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2)) =

= (int ((1 + x) d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2)) + int (d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2)))

A primeira interal resolvemos direito com substituição simples, a segunda é aauqele que temos que tentar achar a integral da trigonométrica inversa.

Passo 2

Vamos começar com:

int ((1 + x) d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2))

Vamos fazer

4 - 2 x - x^2 = a -> - (x + 1) d x = d a -> (x + 1) d x = - d a

A integral vai ficar:

int (- d a)/(sqrt(a)) = - int (d a)/(sqrt(a)) = - int a^((- (1)/(2))) d a = - (a^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + C = - 2 a^((1)/(2)) + C

Voltando para x

- 2 (4 - 2 x - x^2)^((1)/(2)) + C

Passo 3

Agora

int (1 d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Como o termo x^2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a^2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

4 - 2 x^2 - 2 x

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

4 - x^2 - 2 x = 4 - (x^2 - 2 x)

Vamos olhar so p x^2 - 2 x , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

Comaprando, teremos

a = x

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair - b^2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

4 + 1 - (x^2 - 2 x) = 4 + 1 - (x^2 - 2 x + 1) = 5 - (x - 1)^2

A nossa integral fica:

int (d x)/(sqrt(4 - 2 x - x^2)) = int (d x)/(sqrt(5 - (x - 1)^2))

Passo 4

int (d x)/(sqrt(5 - (x - 1)^2))

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(a^2 - 1)

sqrt(1 - a^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 2 em evidência dentro da raiz:

5 - (x - 1)^2 = 5 (1 - ((x - 1)^2)/(5))

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

((x - 1)^2)/(5) = y^2 -> y = (x - 1)/(sqrt(5))

Além disso:

d y = (d x)/(sqrt(5)) -> d x = sqrt(5) d y

Substituindo na integral:

int (d x)/(sqrt(5 - (x - 1)^2)) = int (d x)/(sqrt(5 (1 - ((x - 1)^2)/(5)))) = int (sqrt(5) d y)/(sqrt(5) sqrt((1 - y^2))) = int (d y)/(sqrt((1 - y^2)))

Essa é integra é sen^(- 1) y , então vamos ter:

int (d y)/(sqrt((1 - y^2))) = sen^(- 1) y + C

Voltando para x

sen^(- 1) y + C = sen^(- 1) ((x - 1)/(sqrt(5))) + C

Passo 5

Juntando tudo que achamos, vamos ter:

int ((x + 1 - 1) d x)/(sqrt(3 - 2 x - x^2)) = - 2 (4 - 2 x - x^2)^((1)/(2)) - sen^(- 1) ((x - 1)/(sqrt(5))) + C

Podemos colocar a constante já do lado de fora dessa contarada toda, afinal vai acabar tudo se juntando em uma só.

Resposta

- 2 (4 - 2 x - x^2)^((1)/(2)) - sen^(- 1) ((x - 1)/(sqrt(5))) + C

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