Calcule a integral indefinida

∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x  

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

d d x   x n = n   x n - 1    

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Passo 2

Nosso caso temos que

∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x  

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x →   ∫ ( x 3 + x   ) x 4 + 2 x 2 - 7 d x  

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u =   x 4 + 2 x 2  

d u = 4 x 3 + 4 x   d x → d u 4 =   x 3 + x   d x

∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x   → ∫ u - 7 4     d u  

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

∫ u - 7 4     d u     → 1 4 * 1 - 6   u - 6

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

- 1 2 4   x 4 + 2 x 2 - 6

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x → - 1 24   x 4 + 2 x 2 - 6     + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x → - 1 24   x 4 + 2 x 2 - 6     + C

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