Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(cos^2 t sqrt(1 + t g t)) d t

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição. Antes de começarmos, vamos lembrar que sec t = 1 // cos t , assim, podemos reescrever a integral como

int (1)/(cos^2 t sqrt(1 + t g t)) d t = int (sec^2 t)/((1 + t g t)^(1 // 2)) d t

Agora, se chamarmos 1 + t g t de u , sua derivada será exatamente sec^2 t e nosso problema está resolvido!

OS: não esquecer da constante de integração!

Passo 2

Chamando u = 1 + t g t , temos que d u = sec^2 t d t . Assim, a integral fica:

int (sec^2 t)/((1 + t g t)^(1 // 2)) d t = int (1)/(u^(1 // 2)) d t = int u^(- 1 // 2) d t = (u^(1 // 2))/(1 // 2) + C = 2 sqrt(u) + C

Passo 3

Voltando a variável original:

int (sec^2 t)/((1 + t g t)^(1 // 2)) d t = 2 sqrt(1 + t g t) + C

Resposta

2 sqrt(1 + t g t) + C

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