Enunciado

  1. Complete o quadrado, faça uma substituição u adequada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem completar quadrados e sem substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = x - 2

x = u + 2

d u = d x

Então, podemos acrescentar 4 - 4 no denominador, sem alterar a equação:

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = ∫ x 5 + 4 x - x 2 + 4 - 4     d x

Podemos reescrever como:

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = ∫ x - ( x - 2 2 - 9 )     d x = ∫ x 9 - x - 2 2     d x

Substituindo em termos de u , temos:

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = ∫ u + 2 9 - u 2     d x

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ 1 a 2 - u 2   d u = arc sen ⁡ u a + C

Susbstituindo na fórmula e se a 2 = 9 , então a = 3 . Temos:

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = ∫ u + 2 9 - u 2     d u

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = ∫ u 9 - u 2     d u + ∫ 2 9 - u 2     d u

Aplicando na fórmula se a = 3 , temos:

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = - 9 - u 2 + 2 arc sen ⁡ u 3 + C

Substituindo u = x - 2 :

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = - 9 - ( x - 2 ) 2 + 2 arc sen ⁡ x - 2 3 + C

Então:

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = - 5 + 4 x - x 2 + 2 arc sen ⁡ x - 2 3 + C

Resposta

∫ x 5 + 4 x - x 2     d x = - 5 + 4 x - x 2 + 2 arc sen ⁡ x - 2 3 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral definida. ∫ e e 4 d x x ln ⁡ x
Avalie a integral definida. ∫ 0 1 1 + 7 x 3 d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique que sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C=0). ∫ e c o s x s e n xd x
Avalie a integral definida. ∫ 0 1 3 t - 1 50 d t
Avalie a integral definida. ∫ 0 1 3 d x 1 + 2 x 2 3