Enunciado

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ t g - 1 x x d x

Passo 1

Primeiro precisamos descobrir qual a série de potência de   t g - 1 x x , após encontra-lá podemos calcular a integral.

Para encontrar a série de potência de t g - 1 x x , vamos calcular primeiramente t g - 1 x e depois multiplicar o resultado por 1 x .

Então a série de potência de t g - 1 x é:

t g - 1 x = ∫ 1 1 + x ² d x = ∫ 1 - x 2 + x 4 - x 6 + … d x = C + x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …  

Se fizermos x = 0 , temos que C = 0 .

Então:

t g - 1 x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

Multiplicando ambos os lados por 1 x :

t g - 1 x x = 1 x ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n 2 n + 1

Passo 2

Agora que sabemos quem é a série de potência podemos calcular a integral   ∫ t g - 1 x x d x .

∫ t g - 1 x x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2 n + 1

∫ t g - 1 x x d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ²

Passo 3

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )   = lim n → ∞ ⁡ n ( 2 + 1 n ) n ( 2 + 3 n ) = lim n → ∞ ⁡ 2 2 = 1  

Resposta

∫ t g - 1 x x d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ²

Raio de convergência: R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. sen 2 ⁡ x
Como é possível utilizar eventualmente séries de potências para estimar os valores de integrais definidas não elementares?
Quais são os fatos básicos sobre:a. somas, diferenças e produtos de séries de potências?b. substituição de uma função por x em uma série de potências?c. derivação termo a termo de séries de potências?
Nos Exercícios 73-78:a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos. lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y
Nos Exercícios 73-78:a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos75. lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2