Enunciado

Nos Exercícios 73-78:

a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.

b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos

75. lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Usando séries de potência, vamos calcular o limite dado

  lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2 =   lim t → 0 ⁡ t 2 - 2 + 2 cos ⁡ t t 2 ( 2 - 2 cos ⁡ t )

Vamos manipular um pouco mais, a fim de facilitar o cálculo por série de potências

  lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2 =   lim t → 0 ⁡ t 2 - 2 + 2 cos ⁡ t 2 t 2 ( 1 - cos ⁡ t )

Agora, podemos usar série de potência de forma direta

lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 - 2 + 2 1 - t 2 2 ! + t 4 4 ! - … 2 t 2 1 - 1 + t 2 2 ! - t 4 4 ! + … = lim t → 0 ⁡ 2 t 4 4 ! - t 6 6 ! + … t 4 - 2 t 6 4 ! + …

Com isso, temos o seguinte resultado

lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2 = 2 ∙ 1 4 ! 1 = 1 12

Passo 2

B – Pelo gráfico, nós temos que

Resposta

Respondido acima!

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