Enunciado

Nos Exercícios 73-78:

a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.

b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos.

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a)

Usando a série de potência das funções cos ⁡ y e cosh ⁡ y , temos:

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y   = l i m y → 0 y 2 1 - y 2 2 ! + y 4 4 ! - y 6 6 ! + … - 1 + y 2 2 ! + y 4 4 ! + y 6 6 ! + …  

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y   = l i m y → 0 y 2 - 2 y 2 2 ! - 2 y 6 6 ! - 2 y 10 10 ! - …  

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y   = l i m y → 0 y 2 y 2 - 1 - 2 y 4 6 ! - 2 y 8 10 ! - …  

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y   = l i m y → 0 y 2 y 2 - 1 - 2 y 4 6 ! - 2 y 8 10 ! - …  

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y   = l i m y → 0 1 - 1 - 2 y 4 6 ! - 2 y 8 10 ! - …   = 1 - 1 - 0 - 0 - …   = 1 - 1 = - 1

(b)

Graficamente, destacado pela reta vermelha, temos a comprovação do limite encontrado:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

lim y → 0 ⁡ y 2 cos ⁡ y - cosh ⁡ y   = - 1 . Veja o gráfico acima.

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