Enunciado

Calcule a integral e interprete-a como uma diferença de áreas. Ilustre com um esboço

∫ - 1 2 x 3 d x  

Passo 1

Falaee, belezinha??? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ - 1 2 x 3 d x  

Em seguida devemos interpretá-la como uma diferença de áreas e ilustrar com um esboço.

Para isso, é interessante sabermos da Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em a , b , então

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Além disso, lembre-se que, consultando a tabela de integrais indefinidas, temos:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral analiticamente, pra isso, é só integrarmos a função do mesmo jeito que a gente integra x n .

Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

∫ - 1 2 x 3 d x   = x 4 4 - 1 2

= 2 4 4 - - 1 4 4

= 16 4 - 1 4

= 15 4

Passo 3

Agora, podemos interpretar o resultado obtido da seguinte maneira

Em outras palavras, a integral que encontramos no Passo 2 nada mais é do que a soma dessas duas áreas aí de cima.

Mas perceba que uma está no lado negativo. Assim, o valor da integral pode ser entendido como a área da região positiva menos a área da região negativa!!

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

∫ - 1 2 x 3 d x   = 15 4

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Determine a área das regiões delimitadas pelas curvas e retas x + y = 1 ,y = 0,x = 0
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Determine a área das regiões delimitadas pelas curvas e retas y 2 = 4 x + 4 , y = 4 x - 16
Determine a área das regiões delimitadas pelas curvas e retas x 3 + y = 1 ,y = 0,x = 00 ≤ x ≤ 1