Enunciado

Se f é contínua e g e h são funções deriváveis, encontre uma fórmula para

d d x ∫ g x h x f t d t

Passo 1

Primeiro, vamos separar a integral em duas integrais, para isso, fazemos

d d x ∫ g x h x f t d t = d d x ∫ g x a f t d t + ∫ a h x f t d t

Agora, mudando colocando as duas integrais com os limites de integração indo de a até o limite superior, ficamos com

d d x - ∫ a g ( x ) f t d t + ∫ a h x f t d t

Então, aplicando o Teorema Fndamental do Cálculo, temos

d d x - ∫ a g ( x ) f t d t + ∫ a h x f t d t = - f g x ⋅ g ' x + f h x ⋅ h ' ( x )

Resposta

d d x ∫ g x h x f t d t = f h x ⋅ h ' ( x ) - f g x ⋅ g ' x

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