Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_1^5 int_0^x (8 x - 2 y) d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a y e considerar x como uma constante:

int_0^x (8 x - 2 y) d y = [8 x y - (2 y^2)/(2)]_0^x

int_0^x (8 x - 2 y) d y = [(8 x (x) - (x)^2) - (8 x (0) - (0)^2)]

int_0^x (8 x - 2 y) d y = (8 x^2 - x^2)

int_0^x (8 x - 2 y) d y = 7 x^2

Logo:

int_1^5 int_0^x (8 x - 2 y) d y d x = int_1^5 (7 x^2) d x

Passo 2

Agora é só integrar com relação a x :

int_1^5 (7 x^2) d x = [(7 x^3)/(3)]_1^5

int_1^5 (7 x^2) d x = (7)/(3) [x^3]_1^5

int_1^5 (7 x^2) d x = (7)/(3) [(5)^3 - (1)^3]

int_1^5 (7 x^2) d x = (7)/(3) [125 - 1]

int_1^5 (7 x^2) d x = (868)/(3)

Logo:

int_1^5 int_0^x (8 x - 2 y) d y d x = (868)/(3)

Resposta

int_1^5 int_0^x (8 x - 2 y) d y d x = (868)/(3)

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