Enunciado

Calcular a área da elipse x^2 + 4 y^2 - 4 x = 0 .

Passo 1

A área se dá pelo seguinte gráfico:

Passo 2

A equação da área se dá:

A = ∬ d A

Utilizando as informações obtidas, temos:

x^2 + 4 y^2 - 4 x = 0

(x - 2)^2 + 4 y^2 = 4

((x - 2)^2)/(4) + y^2 = 1

Então, vamos utilizar de transformações para facilitar a resolução:

x - 2 = 2 u e y = v

J = |[[2,0],[0,1]]| = 2

Assim, a equação da área fica:

A = ∬ d A = ∬ 2 d u d v

Passo 3

Agora, passaremos para coordenadas polares:

A = ∬ 2 d u d v = ∬ 2 r d r d theta

Ao realizarmos essas transformações, temos uma circunferência centrada na origem de raio igual a 1, então:

0 <= r <= 1

0 <= theta <= 2 pi

Assim:

A = int_0^(2 pi) int_0^1 2 r d r d theta

Passo 4

Integrando para r :

int_0^1 2 r d r = r^2

Aplicando os limites:

( 1 - 0 ) = 1

Passo 5

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) d theta = theta

Aplicando os limites:

(2 pi - 0) = 2 pi

Resposta

2 pi u . a .

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Exercício de Livro
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