Enunciado

Calcule a integral iterada.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int_0^1 int_0^1 int_0^(2 - x^2 - y^2) x y e^z d z d y d x

Começaremos o exercício calculando a integral em função de z :

int_0^1 int_0^1 [x y e^z]_(z = 0)^(z = 2 - x^2 - y^2) d y d x

E, simplificando a expressão, temos:

int_0^1 int_0^1 (x y e^(2 - x^2 - y^2) - x y) d y d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_0^1 [- (1)/(2) x e^(2 - x^2 - y^2) - (1)/(2) x y^2]_(y = 0)^(y = 1) d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^1 (- (1)/(2) x e^(1 - x^2) - (1)/(2) x + (1)/(2) x e^(2 - x^2)) d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[(1)/(4) e^(1 - x^2) - (1)/(4) x^2 - (1)/(4) e^(2 - x^2)]_0^1 = (1)/(4) - (1)/(4) - (1)/(4) e - (1)/(4) e + 0 + (1)/(4) e^2

E, dessa forma o valor da integral é:

int_0^1 int_0^1 int_0^(2 - x^2 - y^2) x y e^z d z d y d x = (1)/(4) e^2 - (1)/(2) e

Resposta

int_0^1 int_0^1 int_0^(2 - x^2 - y^2) x y e^z d z d y d x = (1)/(4) e^2 - (1)/(2) e

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