Enunciado

Calcule a integral iterada.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int_0^(pi) int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z s e n x d y d z d x

Começaremos o exercício calculando a integral em função de y :

int_0^(pi) int_0^1 [y z sen x]_(y = 0)^(y = sqrt(1 - z^2)) d z d x

E, simplificando a expressão, temos:

int_0^(pi) int_0^1 z sqrt(1 - z^2) sen x d z d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de z :

int_0^(pi) sen x [- (1)/(3) (1 - z^2)^((3)/(2))]_(z = 0)^(z = 1) d x = int_0^1 se n x (- (1)/(3) (1 - 1^2)^((3)/(2))) - (- (1)/(3) (1 - 0^2)^((3)/(2))) d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^(pi) (1)/(3) sen x d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[- (1)/(3) cos x]_0^(pi) = - (1)/(3) (- 1 - 1)

E, dessa forma o valor da integral é:

int_0^(pi) int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z s e n x d y d z d x = (2)/(3)

Resposta

int_0^(pi) int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z s e n x d y d z d x = (2)/(3)

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