Enunciado

Calcule a integral iterada.

∫ ∫ ∫ ε x 2 ⋅ e y   ⋅ d V , onde E é limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0 , x = 1 e x = - 1 .

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação dada na seção para o cálculo de integral tripla

∫ ∫ ∫ ε f x , y , z ⋅ d V

Passo 2

Vamos começar calculando quais são os intervalos de integração. Considerando inicialmente z = 0 podemos encontrar a reta em x y . Manipulando a expressão, chegaremos que

y = ± √ 1

Temos que os outros intervalos já nos são dados, assim ficamos com

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

0 ≤ z ≤ 1 - y 2

Assim, calculando então a integral

∫ ∫ ∫ ε x 2 ⋅ e y   ⋅ d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 ⋅ e y ⋅ d z ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 x 2 ⋅ e y ⋅ ( 1 - y 2 ) ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ - 1 1 x 2 ⋅ d x ⋅ ∫ - 1 1 e y - e y ⋅ y 2 ⋅ d y = 1 3 ⋅ x 3 - 1 1 ⋅ e y - y 2 - 2 ⋅ y + 2 ⋅ e y - 1 1 =

= 1 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ e 1 - e - 1 - e - 5 e = 1 3 ⋅ 2 ⋅ 4 e - 1 = 8 3 e

Resposta

∫ ∫ ∫ ε x 2 ⋅ e y   ⋅ d V = 8 3 e

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Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 e pelos planos y + z = 5 e x = 1 .
Calcule a integral tripla ∭ E x d V Onde E é limitado pelo parabolóide x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4
Esboçar a região de integração e calcular as integrais:g) ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 4 - x 2 ∫ 0 x 2 + 4 y 2 d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais:h) ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 ∫ 4 x 2 + 4 y 2 - 9 3 x 2 + 3 y 2 d z d x d y
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é a região delimitada por x=y 2 ,y = x 2 ,z = 2 y ,z = - 2 y .