Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcule a integral tripla

∭ E x d V

Onde E é limitado pelo parabolóide x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Nessa questão aqui, o parabolóide não tá escrito de forma usual. Geralmente a gente tem a equação do tipo z = … , só que agora a nossa equação é x = 4 y 2 + 4 z 2 . Desse jeito não vai ser tão diferente do que a gente tá acostumado, mas tem que prestar atenção pra não dar mole, beleza?

Como o nosso parabolóide é paralelo ao eixo x vamos usar o sistema de coordenadas cilindricas definido da seguinte forma

x = x

y = ρ s e n θ

z = ρ cos ⁡ θ

Show ? É como se tivessemos feito uma rotação de eixos!

E o jacobiano é aquele mesmo de coordenadas cilindricas, então

d V = ρ d ρ d θ d x

Beleza! A nossa integral então vai ficar

∭ E x   ρ d ρ d θ d x

Passo 2

Agora temos que determinar os limites de integração! Só pra guiar a gente, aqui um esboço do parabolóide e do plano x = 4

Vamos olhar pra equação x = 4 y 2 + 4 z 2 . O valor mínimo de x é 0 e x vai até x = 4 , então já temos que

0 ≤ x ≤ 4

Mas como

x = 4 y 2 + 4 z 2 = 4 ρ s e n θ 2 + 4 ρ cos ⁡ θ 2 = 4 ρ 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

x = 4 ρ 2

Então vamos ter

0 ≤ x ≤ 4 → 0 ≤ 4 ρ 2 ≤ 4

0 ≤ ρ ≤ 1

E pela nossa figura também temos que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Show! Agora é só montar a integral!

Passo 3

A nossa integral fica assim

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ d ρ ∫ 0 4 x d x

Então

∫ 0 2 π d θ = 2 π

∫ 0 1 ρ d ρ = ρ 2 2 0 1 = 1 2

∫ 0 4 x d x = x 2 2 0 4 = 4 2 2 = 8

Show! O resultado da nossa integral será

2 π ⋅ 1 2 ⋅ 8 = 8 π

Show! Conseguimos :D

Resposta

8 π

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →