Enunciado

Calcule a integral tripla

∭ E x d V

Onde E é limitado pelo parabolóide x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Nessa questão aqui, o parabolóide não tá escrito de forma usual. Geralmente a gente tem a equação do tipo z = … , só que agora a nossa equação é x = 4 y 2 + 4 z 2 . Desse jeito não vai ser tão diferente do que a gente tá acostumado, mas tem que prestar atenção pra não dar mole, beleza?

Como o nosso parabolóide é paralelo ao eixo x vamos usar o sistema de coordenadas cilindricas definido da seguinte forma

x = x

y = ρ s e n θ

z = ρ cos ⁡ θ

Show ? É como se tivessemos feito uma rotação de eixos!

E o jacobiano é aquele mesmo de coordenadas cilindricas, então

d V = ρ d ρ d θ d x

Beleza! A nossa integral então vai ficar

∭ E x   ρ d ρ d θ d x

Passo 2

Agora temos que determinar os limites de integração! Só pra guiar a gente, aqui um esboço do parabolóide e do plano x = 4

Vamos olhar pra equação x = 4 y 2 + 4 z 2 . O valor mínimo de x é 0 e x vai até x = 4 , então já temos que

0 ≤ x ≤ 4

Mas como

x = 4 y 2 + 4 z 2 = 4 ρ s e n θ 2 + 4 ρ cos ⁡ θ 2 = 4 ρ 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

x = 4 ρ 2

Então vamos ter

0 ≤ x ≤ 4 → 0 ≤ 4 ρ 2 ≤ 4

0 ≤ ρ ≤ 1

E pela nossa figura também temos que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Show! Agora é só montar a integral!

Passo 3

A nossa integral fica assim

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ d ρ ∫ 0 4 x d x

Então

∫ 0 2 π d θ = 2 π

∫ 0 1 ρ d ρ = ρ 2 2 0 1 = 1 2

∫ 0 4 x d x = x 2 2 0 4 = 4 2 2 = 8

Show! O resultado da nossa integral será

2 π ⋅ 1 2 ⋅ 8 = 8 π

Show! Conseguimos :D

Resposta

8 π

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é a região delimitada por z = x 2 + y 2 - 4 , z = 4 - x 2 - y 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é o solido do primeiro octante limitada por z = 4 - x 2,y = 0 ,z = 0ey = x .
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 1 - x - y d z d x d y
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y y d z d y d x