Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 17
Calcule a integral tripla
Onde é limitado pelo parabolóide e pelo plano
Passo 1
Opa, tudo certinho?
Nessa questão aqui, o parabolóide não tá escrito de forma usual. Geralmente a gente tem a equação do tipo , só que agora a nossa equação é . Desse jeito não vai ser tão diferente do que a gente tá acostumado, mas tem que prestar atenção pra não dar mole, beleza?
Como o nosso parabolóide é paralelo ao eixo vamos usar o sistema de coordenadas cilindricas definido da seguinte forma
Show ? É como se tivessemos feito uma rotação de eixos!
E o jacobiano é aquele mesmo de coordenadas cilindricas, então
Beleza! A nossa integral então vai ficar
Passo 2
Agora temos que determinar os limites de integração! Só pra guiar a gente, aqui um esboço do parabolóide e do plano
Vamos olhar pra equação . O valor mínimo de é e vai até , então já temos que
Mas como
Então vamos ter
E pela nossa figura também temos que
Show! Agora é só montar a integral!
Passo 3
A nossa integral fica assim
Então
Show! O resultado da nossa integral será
Show! Conseguimos :D
Resposta
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