Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y   d x + x 2 d y

C é o retângulo com vértices 0,0 ,   3,0 , 3,1 , ( 0,1 )

Passo 1

  1. Como C é um retângulo, vamos ter que dividir C em quatro partes de forma que C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 , onde cada parte é uma reta que liga um ponto ao outro, de forma que
  2. ∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3 + ∫ C 4 F ⋅ d r 4

    Onde F = ( x y , x 2 )

    Colocando os quatro pontos no plano para ficar claro de quais retas precisamos

    Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de ( 0,0 ) a ( 3,0 )

    C 1 : r 1 t = 3 t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 1 ' t = 3,0

    E a integral é

    ∫ C 1 F ⋅ d r 1 = ∫ 0 1 3 t ⋅ 0 , 3 t 2 ⋅ 3,0   d t

    = ∫ 0 1 0   d t = 0

    Outra reta sai de ( 3,0 ) e vai até ( 3,1 ) que tem parametrização

    C 2 : r 2 t = 3 , t ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 2 ' t = 0,1

    E a integral é

    ∫ C 2 F ⋅ d r 2 = ∫ 0 1 3 t , 3 2 ⋅ 0,1   d t

    = ∫ 0 1 9   d t = 9

    Da mesma forma precisamos da reta que sai de ( 3,1 ) e vai até ( 0,1 ) , que pode ter parametrização

    C 3 : r 3 t = 3 - 3 t , 1 ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 3 ' t = - 3,0

    ∫ C 3 F ⋅ d r 3 = ∫ 0 1 3 - 3 t , 3 - 3 t 2 ⋅ - 3,0   d t

    = ∫ 0 1 - 9 + 9 t d t = - 9 t + 9 t 2 2 0 1

    = - 9 + 9 2 = - 9 2

    Por fim temos a reta que vai de ( 0,1 ) até a origem, fechando a curva C

    C 4 : r 4 t = 0,1 - t ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 4 ' t = 0 , - 1

    ∫ C 4 F ⋅ d r 4 = ∫ 0 1 0 ( 1 - t ) , 0 2 ⋅ 0 , - 1 d t = 0

    Então temos que

    ∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3 + ∫ C 4 F ⋅ d r 4

    = 0 + 9 - 9 2 + 0 = 9 2

    Passo 2

  3. Pelo Teorema de Green temos que

∮ C x y   d x + x 2 d y = ∬ D ∂ ∂ x x 2 - ∂ ∂ y x y d A

= ∬ D 2 x - x   d A = ∬ D x   d A

Como D é um retângulo

= ∫ 0 3 ∫ 0 1 x   d y d x = ∫ 0 3 x   d x

= x 2 2 0 3 = 3 2 2 = 9 2

Resposta

9 2

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b) Use a) para calcular a área da região limitada pelo eixo y , pelas retas y = 1 ,y = 3 e pela curva x = y 2 .
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
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