Enunciado

A velocidade de disparo de uma arma é de 150 m / s . Determine dois ângulos de elevação que podem ser utilizados para atingir um alvo que está a 800 m de distância.

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão vamos fazer um desenho e pegar todas as informações que o enunciado trás.

O problema nos diz que a bola tem uma velocidade inicial de 150 m / s . E pergunta quais os ângulos de elevação para atingir um alcance de 800 m .

Os dados iniciais são:

  • Velocidade inicial: v 0 = 150 m / s
  • Ângulo de elevação: θ
  • Aceleração da gravidade: g = 9,8 m / s ²
  • Vetor posição inicial: r → 0 = x 0 i → + y 0 j → = 0 i → + 0 j →

Primeiro vou calcular a velocidade inicial da componente vertical e horizontal da bola.

  • Vertical: v 0 y = v 0 s e n θ
  • Horizontal: v 0 x = v 0 cos ⁡ θ

Passo 2

Agora podemos montar o vetor posição em função do tempo t :

r → t = v 0 x t i → + y 0 + v 0 y t - g t 2 2 j →

r → t = v 0 cos ⁡ θ . t i → + y 0 + v 0 s e n ( θ ) t - g t 2 2 j →

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos pensar um pouco. O tempo que a bola leva para percorrer, na horizontal, a distância de 800 m não é o mesmo tempo que a bola leva para subir e descer? É SIM! Então, da componente vertical, vamos descobrir o tempo de voo. Ou seja, aquele instante t no qual a componente y é zero:

y 0 + v 0 s e n θ t - g t 2 2

Como y 0 = 0 o instante t é:

v 0 s e n θ t = g t 2 2

t = 2 v 0 s e n θ g

E agora substituir na componente horizontal essa quantidade, porque assim vamos ficar com uma expressão do ângulo θ em função do alcance de 800 m , sacou?

Beleza! Vamos às substituições! Pegando a componente vertical da posição em função do tempo:

x = v 0 c o s ⁡ ( θ ) t

E substituindo pelo tempo t = 2 v 0 s e n θ g temos:

x = v 0 cos ⁡ θ . 2 v 0 s e n θ g

E reorganizando um pouco teremos:

x = v 0 2 g 2 s e n θ cos ⁡ θ

E podemos simplificar um pouco mais se usarmos a relação trigonométrica s e n 2 θ = 2 s e n θ cos ⁡ θ :

x = v 0 2 g s e n 2 θ

Sabendo que o alcance foi de 800 m , temos:

s e n 2 θ = x g v 0 2 = 800.9,8 150 2 = 0,3484

2 θ = 20,4 °   ∴ θ = 10,2 °

O outro valor de θ é quando lançamos a bola para o outro sentido do eixo horizontal. Ou seja quando o ângulo é 180 ° - 2 θ = 159,6 ° ∴ θ = 79,8 °

Então os dois ângulos possíveis são: θ = 10,2 °   e   79,8 °

Resposta

θ = 10,2 °   e   79,8 °

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