Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.4 - Ex. 27
A velocidade de disparo de uma arma é de . Determine dois ângulos de elevação que podem ser utilizados para atingir um alvo que está a de distância.
Passo 1
Olá, tudo bem? Para resolver essa questão vamos fazer um desenho e pegar todas as informações que o enunciado trás.
O problema nos diz que a bola tem uma velocidade inicial de . E pergunta quais os ângulos de elevação para atingir um alcance de .
Os dados iniciais são:
- Velocidade inicial:
- Ângulo de elevação:
- Aceleração da gravidade:
- Vetor posição inicial:
Primeiro vou calcular a velocidade inicial da componente vertical e horizontal da bola.
- Vertical:
- Horizontal:
Passo 2
Agora podemos montar o vetor posição em função do tempo :
Beleza até aqui?
Passo 3
Agora vamos pensar um pouco. O tempo que a bola leva para percorrer, na horizontal, a distância de não é o mesmo tempo que a bola leva para subir e descer? É SIM! Então, da componente vertical, vamos descobrir o tempo de voo. Ou seja, aquele instante no qual a componente é zero:
Como o instante é:
E agora substituir na componente horizontal essa quantidade, porque assim vamos ficar com uma expressão do ângulo em função do alcance de , sacou?
Beleza! Vamos às substituições! Pegando a componente vertical da posição em função do tempo:
E substituindo pelo tempo temos:
E reorganizando um pouco teremos:
E podemos simplificar um pouco mais se usarmos a relação trigonométrica :
Sabendo que o alcance foi de , temos:
O outro valor de é quando lançamos a bola para o outro sentido do eixo horizontal. Ou seja quando o ângulo é
Então os dois ângulos possíveis são: