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Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.

P x , y = y 2 e x ,                     Q x , y = x 2 e y

C consiste no segmento de reta de ( - 1,1 ) a ( 1,1 ) seguido pelo arco da parábola y = 2 - x 2 de ( 1,1 ) a ( - 1,1 )

Passo 1

Olhando C no plano

Da maneira que foi descrito temos C orientado positivamente e fechada.

∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Para o cálculo da integral de linha vamos dividir a curva em duas partes parametrizando a reta como

C 1 : r 1 t = 2 t - 1,1 ,   0 ≤ t ≤ 1

r 1 ' t = ( 2,0 )

∫ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 1 P ( r 2 ( t ) ) , Q ( r 2 ( t ) ) ⋅ 2,0 d t

Usando um software

= ∫ 0 1 2 e 2 t - 1 d t = e - 1 e

E a parábola parametrizada por

C 2 :   r 2 t = t , 2 - t 2 ,   c o m   t   v a r i a n d o   d e   1   a - 1

r 2 ' t = ( 1 , - 2 t )

∫ C 2 F ⋅ d r = ∫ 1 - 1 P ( r 2 ( t ) ) , Q ( r 2 ( t ) ) ⋅ 1 , - 2 t d t

= ∫ 1 - 1 ( 2 - t 2 ) 2 e t - 2 t t 2 e 2 - t 2 d t = 49 e - 9 e

Então a integral é

∫ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r + ∫ C 2 F ⋅ d r

∫ C F ⋅ d r = e - 1 e + 49 e - 9 e = 48 e - 8 e

Passo 2

Calculando a integral dupla

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∫ - 1 1 ∫ 1 2 - x 2 ∂ x 2 e y ∂ x - ∂ ( y 2 e x ) ∂ y d y d x

= ∫ - 1 1 ∫ 1 2 - x 2 2 x e y - 2 y e x d y d x = 48 e - 8 e

Resposta

48 e - 8 e

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