Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y   d x + x 2 y 3 d y

C é o triangulo com vértices 0,0 ,   1 , 0 e 1 , 2

Passo 1

  1. Como C é um triangulo, vamos ter que dividir C em três partes de forma que C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 , onde cada parte é uma reta que liga um ponto ao outro, de forma que
  2. ∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3

    Onde F = ( x y , x 2 y 3 )

    Colocando os quatro pontos no plano para ficar claro de quais retas precisamos

    Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de ( 0,0 ) a ( 1 , 0 )

    C 1 : r 1 t = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 1 ' t = 1 , 0

    E a integral é

    ∫ C 1 F ⋅ d r 1 = ∫ 0 1 t ⋅ 0 , t 2 0 3 ⋅ 1 , 0   d t

    = ∫ 0 1 0   d t = 0

    Outra reta sai de ( 1 , 0 ) e vai até ( 1 , 2 ) que tem parametrização

    C 2 : r 2 t = 1 , 2 t ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 2 ' t = 0 , 2

    E a integral é

    ∫ C 2 F ⋅ d r 2 = ∫ 0 1 2 t , 1 2 2 t 3 ⋅ 0 , 2   d t

    = ∫ 0 1 2 4 t 3   d t = 16 t 4 4 0 1 = 16 4 = 4

    Por fim temos a reta que vai de ( 1 , 2 ) até a origem, fechando a curva C

    C 3 : r 3 t = 1 - t , 2 - 2 t ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 3 t = ( 1 - t , 2 ( 1 - t ) )

    r 3 ' t = - 1 , - 2

    ∫ C 3 F ⋅ d r 3 = ∫ 0 1 1 - t 2 1 - t , 1 - t 2 2 1 - t 3 ⋅ - 1 , - 2   d t

    = ∫ 0 1 - 2 1 - t 2 - 2 4 1 - t 5   d t = 2 3 1 - t 3 + 16 6 1 - t 6 0 1

    = - 2 3 - 8 3 = - 10 3

    Então temos que

    ∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3

    = 0 + 4 - 10 3 = 2 3

    Passo 2

  3. Pelo Teorema de Green temos que

∮ C x y   d x + x 2 y 3 d y = ∬ D ∂ ∂ x x 2 y 3 - ∂ ∂ y x y d A

= ∬ D 2 x y 3 - x   d A

Analizando D podemos usar D = x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ 2 x }

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 x 2 x y 3 - x   d y d x = ∫ 0 1 x y 4 2 - x y 0 2 x   d x

= ∫ 0 1 8 x 5 - 2 x 2   d x = 8 x 6 6 - 2 x 3 3 0 1 = 8 6 - 2 3

= 4 3 - 2 3 = 2 3

Resposta

2 3

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