Enunciado

Uma partícula inicialmente no ponto ( - 2 ,   0 ) se move ao longo do eixo x até ( 2 ,   0 ) e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força F x , y = x , x 3 + 3 x y 2 .

Passo 1

Temos uma curva C fechada e pela descrição, está orientada positivamente, então podemos aplicar tranquilamente o Teorema de Green para calcular o trabalho

W = ∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ ∂ x x 3 + 3 x y 2 - ∂ ∂ y ( x ) d A

= ∬ D ( 3 x 2 + 3 y 2 ) d A

Podemos usar coordenadas polares para resolver a integral, com a variação

0 ≤ r ≤ 2

Como temos apenas a semicircunferência o ângulo vai só até π

0 ≤ θ ≤ π

E a integral fica

∬ D 3 x 2 + 3 y 2 d A = ∫ 0 π ∫ 0 2 3 r 2 r   d r d θ

= 3 ∫ 0 π d θ ∫ 0 2 r 3   d r = 3 π 2 4 4

= 12 π

Resposta

12 π

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5) Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário. Sejam P e Q de classe C1 num aberto contendo K.Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x d y ( Sugestao : D
3 ) Seja B o conjuntoe seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Suponha P (x,y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω contendo B. Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x
(Teorema de Green para um círculo.) Seja B o círculo de centro na origem e raio r . Seja γ t = r cos ⁡ t , rs e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π . Suponha que P e Q sejam de classe C 1 num aberto Ω contendo B . Prove
Seja K o triangulo a seguir e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Sejam P ( x ,y ) e Q ( x ,y ) de classe C 1 num aberto contendo K .Prove que ∮ γ P d x + Q d y = ∫ ∫ K ∂ Q d x - ∂ P
Seja y = f ( x ) de classe C 1 em a , b e tal que f ' x0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f x ≤ y ≤ f a . Sejam P e Q de classe C 1 em um aberto contendo K . Prove que ∮ γ P d x + Q d y =