Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x s e n y d s , C é o s e g m e n t o d e r e t a q u e l i g a (0 , 3) a ( 4 , 6 )

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, e pra isso, vamos usar a seguinte parametrização da curva C :

x = (4)/(3) (t - 3) , y = t , 3 <= t <= 6

Então teremos:

x s e n y = (4)/(3) (t - 3) s e n t

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = sqrt(((4)/(3))^2 + (1)^2) d t = sqrt((25)/(9)) d t = (5)/(3) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C x s e n y d s = int_3^6 (20)/(9) (t - 3) s e n t d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida, por partes:

int_3^6 (20)/(9) (t - 3) s e n t d t = (20)/(9) [(3 - t) cos t]_3^6 - int_3^6 - (20)/(9) cos t d t = (20)/(9) (- 3 cos 6 - 0) + (20)/(9) [s e n t]_3^6 = (20)/(9) ( - 3 cos 6 + s e n 6 - s e n 3 )

Resposta

(20)/(9) ( s e n 6 - 3 cos 6 - s e n 3 )

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