Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x + 2 y d x + x 2 d y

C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .

Passo 1

Primeira coisa, desenhamos nossa curva C para entendermos melhor o caminho percorrido.

Pelo enunciado, o sentido do caminho é o horário. Outra coisa que devemos lembrar é como funciona uma integral de caminho. Devemos nos atentar que

∫ C = ∫ C 1 + ∫ C 2 + … + ∫ C n    

Passo 2

Iniciamos nosso problema parametrizando as curvas que iremos utilizar.

Quando vamos de ( 0,0 ) para ( 2,1 ) temos uma reta γ 1 , assim como de ( 2,1 ) para 3,0 , γ 2 .

Assim temos:

γ 1 t = ( 2 t ,   t ) com 0 ≤ t ≤ 1

Com d x = 2 d t e d y = d t

γ 2 t = ( 2 + t , 1 - t ) com 0 ≤ t ≤ 1

Com d x = d t e d y =   - d t

Assim nossa integral se transforma da seguinte maneira

∫ C 1 2 t + 2 t ⋅ 2 d t + 2 t 2 ⋅ d t + ∫ C 2 2 + t - 2 t - 1 ⋅ d t + 2 + t 2 ⋅ - d t

Onde ambos os intervalor são descritos de 0 à 1

Passo 3

Vamos resolver primeiro C 1 e depois C 2

∫ C 1 8 t   d t + 4 t 2 d t = 4 t 2 + 4 3 t 3 = 4 + 4 3 = 16 3

∫ C 2 4 - t d t - 4 + 4 t + t 2 d t = ∫ C 2 - 5 t   d t - t 2   d t =   - 5 2 t 2 - t 3 3 = - 5 2 - 1 3 = - 17 6

Com isso ficamos com

16 3 - 17 6 = 5 2

Resposta

5 2

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