Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ x y 4 d s

Em que C é a metade direita do círculo x 2 + y 2 = 16 .

Passo 2

Nesse caso, as equações paramétricas para C são:

x = 4 cos ⁡ t ,   y = 4 s e n   t ,     - π 2 ≤ t ≤ π 2

Sabemos que essa integral de linha pode ser calculada através da fórmula 3 apresentada nessa seção do livro, sendo assim, substituindo os valores na fórmula, temos:

∫ x y 4 d s = ∫ - π / 2 π / 2 4 cos ⁡ t 4   s e n   t 4 - 4 s e n   t 2 + 4 cos ⁡ t 2 d t

= ∫ - π / 2 π / 2 4 5 s e n 4   t cos ⁡ t 16 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ) d t

Da relação fundamental da trigonometria temos que: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:

4 6 ∫ - π / 2 π / 2 s e n 4   t cos ⁡ t d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

4 6 1 5 s e n 5 t - π / 2 π / 2 = 4 6 1 5 1 - 1 5 - 1 = 4 6 2 5

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x y 4 d s = 1638,4

Resposta

∫ x y 4 d s = 1638,4

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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C x + | y |d s , onde C é o retângulo formado pelas retas x = 0 ,x = 4 ,y = - 1ey = 1 .
O fio mostrado na Figura 9.22 conduz uma corrente i . Determinar a intensidade do campo magnético B → no centro de C do semicírculo, produzido:b) pelo segmento semicircular de raio R .
O fio mostrado na Figura 9.22 conduz uma corrente i . Determinar a intensidade do campo magnético B → no centro de C do semicírculo, produzido:Por um dos segmentos de reta de comprimento l .
O fio mostrado na Figura 9.22 conduz uma corrente i . Determinar a intensidade do campo magnético B → no centro de C do semicírculo, produzido:b) pelo fio todo.
Um segmento retilíneo de fio, de comprimento l , conduz uma corrente i . Mostrar que a intensidade do campo magnético B → associada a esse segmento, a uma distância R , tomada sobre a mediatriz é dada