Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x e^(y z) d s , C é o s e g m e n t o d e r e t a d e (0 , 0 , 0) a ( 1 , 2 , 3 )

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever uma parametrização para C :

x = t , y = 2 t , z = 3 t , 0 <= t <= 1

Também teremos:

x e^(y z) = t e^(2 t . 3 t) = t e^(6 t^2)

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t = sqrt((1)^2 + (2)^2 + (3)^2) d t = sqrt(14) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C x e^(y z) d s = int_0^1 sqrt(1 4) t e^(6 t^2) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida:

int_0^1 sqrt(14) t e^(6 t^2) d t = sqrt(1 4) [(e^(6 t^2))/(6 . 2)]_0^1 = (sqrt(14))/(12) (e^6 - 1)

Resposta

(sqrt(14))/(12) (e^6 - 1)

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