Enunciado

O campo vetorial F é mostrado no plano x y   e é o mesmo em todos os planos horizontais (em outras palavras ,   F é independente de z e sua componente z é 0 ).

  1. O d i v   F será positivo, negativo ou nulo? Explique.
  2. Determine se o r o t   F = 0 . Se não, em que direção r o t   F aponta?

Passo 1

Vamos considerar

F = P   i + Q   j

Para o gráfico dado, podemos perceber também que Q = 0 em todo o plano e não varia com o a variação das variáveis

∂ Q ∂ x = ∂ Q ∂ y = 0

Já para P não varia com a variação de x

∂ P ∂ x = 0

Mas aumenta a medida que y aumenta, então

∂ P ∂ y > 0

Passo 2

  1. O divergente é calculado por
  2. d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y

    Como analisamos e concluímos que as duas componentes da soma são nulas, o divergente é nulo.

    Passo 3

  3. Podemos calcular o rotacional por

r o t   F = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

O primeiro item da soma é nulo então

r o t   F = - ∂ P ∂ y k

Concluimos que ∂ P ∂ y > 0 e como temos um negativo antes, o rotacional vai ter a componente z não nula e negativa, então a direção do rotacional é para o eixo negativo de z ou para dentro da folha.

Resposta

  1. d i v   F = 0
  2. F aponta na direção - k .
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