Enunciado

Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t   ,     y = cos ⁡ t   ,     z = s e n   t   ,     0 ≤ t ≤ 2 π   , se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à origem.

Passo 1

Pessoal, vamos usar uma integral de linha pra calcular a massa:

m = ∫ C ρ ( x ,   y ,   z )   d s

ρ x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 = t 2 + cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = t 2 + 1

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t = 1 2 + - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2   d t = 2   d t

Então a integral vai ficar assim:

m = ∫ 0 2 π 2   t 2 + 1 d t = 2 t 3 3 + t 0 2 π = 2 8 π 3 3 + 2 π

Passo 2

Show! Agora vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa, começando com x C M :

x C M = 1 m ∫ C x   ρ ( x ,   y ,   z ) d s = 1 m ∫ 0 2 π 2   t 2 + 1 t   d t = 1 m ∫ 0 2 π 2   t 3 + t   d t = 2 m t 4 4 + t 2 2 0 2 π = 2 m 4 π 4 + 2 π 2 = 2 2 8 π 3 3 + 2 π 4 π 4 + 2 π 2 = 6 π 3 + 3 π 4 π 2 + 3

Passo 3

Continuando, com y C M :

y C M = 1 m ∫ C y   ρ x ,   y ,   z d s = 1 m ∫ 0 2 π 2   t 2 + 1 cos ⁡ t   d t = 1 m ∫ 0 2 π 2   t 2 cos ⁡ t + cos ⁡ t   d t = 2 m t 2   s e n   t - 2   s e n t + 2 t cos ⁡ t + s e n   t 0 2 π = 2 m 4 π = 4 2 π 2 8 π 3 3 + 2 π = 6 4 π 2 + 3

Passo 4

Por último, calculamos z C M :

z C M = 1 m ∫ C z   ρ x ,   y ,   z d s = 1 m ∫ 0 2 π 2   t 2 + 1   s e n   t   d t = 1 m ∫ 0 2 π 2   t 2   s e n   t + s e n   t   d t = 2 m - t 2 cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t + 2 t   s e n   t - cos ⁡ t 0 2 π = 2 m - 4 π 2 + 2 + 0 + 0 - 2 - 0 = - 4 π 2 2 2 8 π 3 3 + 2 π = - 6 π 4 π 2 + 3

Resposta

m = 2 8 π 3 3 + 2 π

6 π 3 + 3 π 4 π 2 + 3 ,   6 4 π 2 + 3 ,   - 6 π 4 π 2 + 3

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