Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z   ,

C consiste nos segmentos de reta de 0 ,   0 ,   0 a 1 ,   2 ,   - 1 e de 1 ,   2 ,   - 1 a ( 3 ,   2 ,   0 ) .

Passo 1

Galera, primeiro vamos dividir a curva C em duas curvas e parametrizá-las:

C 1 :           x = t   ,       y = 2 t   ,       z = - t   ,           d x = d t   ,       d y = 2   d t   ,       d z = -   d t   ,           0 ≤ t ≤ 1

C 2 :           x = 1 + 2 t   ,       y = 2   ,       z = - 1 + t   ,           d x = 2   d t   ,       d y = 0   d t   ,       d z = d t   ,           0 ≤ t ≤ 1

Então,

∫ C x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z = ∫ C 1 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z + ∫ C 2 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z

Passo 2

Show! Agora vamos substituir os valores da parametrização:

∫ C 1 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z + ∫ C 2 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z = ∫ 0 1 t 2 d t + 2 t 2   .   2   d t + - t 2   - d t + ∫ 0 1 1 + 2 t 2 .   2   d t + 2 2   .   0   d t + - 1 + t 2   d t = ∫ 0 1 8 t 2 d t + ∫ 0 1 9 t 2 + 6 t + 3 d t = ∫ 0 1 ( 17 t 2 + 6 t + 3 ) d t

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida:

∫ 0 1 ( 17 t 2 + 6 t + 3 ) d t = 17 t 3 3 + 3 t 2 + 3 t 0 1 = 17 3 + 3 + 3 = 1 3 17 + 18 = 35 3

Resposta

35 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = e y i → + x e yj → + z + 1 e z k → ,C : r → t = t i →t 2 j → + t 3 k →0 ≤ t ≤
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = 2 x z + y 2 i → + 2 x yj → +x 2 + 3 z 2 k → ,C : x = t 2 ,y = t + 1 ,z = 2 t
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )