Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x y d x + (x - y) d y ,

C c o n s i s t e n o s s e g m e n t o s d e r e t a d e (0 , 0) a (2 , 0) e d e (2 , 0) a ( 3 , 2 )

Passo 1

Galera, pra gente poder parametrizar a curva C , vamos ver como são os segmentos de reta:

Então, vamos parametrizar cada pedaço da curva separadamente. No segmento de reta C_1 , nós vemos que o x varia, mas o y permanece igual a zero. Logo a derivada de y é igual a zero, enquanto x varia entre 0 e 2:

C_1 : x = x , y = 0 , d y = 0 0 <= x <= 2

Porém quando olhamos para o segmento de reta C_2 , observamos que tanto x quanto y variam. Então vamos colocar y em função de x , por ser uma reta, essa função é da seguinte forma:

y = a x + b

Quando:

x = 2 -> y = 0

x = 3 -> y = 2

Substituindo esses valores na nossa equação, vamos obter o seguinte sistema:

{[[2 = 3 a + b],[0 = 2 a + b]])

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos que:

a = 2

Pela segunda equação, podemos substituir o valor de a e encontrar o valor de b :

0 = 2 a + b

b = - 2 a

b = - 4

Logo:

y = 2 x - 4

Derivando os dois lados:

d y = 2 d x

Agora sim, chefamos na parametrização do segundo seguimento de reta, nosso caminho C_2 :

C_2 : x = x , y = 2 x - 4 , d y = 2 d x 2 <= x <= 3

Passo 2

Show! Agora podemos escrever a integral e resolvê-la:

int_C x y d x + (x - y) d y = int_C_1 x y d x + (x - y) d y + int_C_2 x y d x + (x - y) d y

Não se esquece de substituir os valores de y e d y !!

Vamos resolver separadamente, primeiro vamos fazer o primeiro segmento de reta ( C_1 ) :

int_C_1 x y d x + (x - y) d y = int_0^2 x . 0 d x + int_0^2 ( x - y ) . 0

int_C_1 x y d x + (x - y) d y = 0

Passo 3

Vamos resolver a segunda integral:

int_C_2 x y d x + (x - y) d y

int_C_2 x y d x + (x - y) d y = int_2^3 x (2 x - 4) d x + int_2^3 [x - (2 x - 4)] 2 d x

int_C_2 x y d x + (x - y) d y = int_2^3 (2 x^2 - 4 x) d x + int_2^3 [- x + 4] 2 d x

int_C_2 x y d x + (x - y) d y = int_2^3 (2 x^2 - 4 x) d x + int_2^3 - 2 x + 8 d x

int_C_2 x y d x + (x - y) d y = int_2^3 (2 x^2 - 6 x + 8) d x

int_C_2 x y d x + (x - y) d y = [(2 x^3)/(3) - 3 x^2 + 8 x]_2^3

18 - 27 + 24 - (16)/(3) + 12 - 16 = 11 - (16)/(3) = (17)/(3)

Resposta

(17)/(3)

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