Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 7
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
Passo 1
Galera, pra gente poder parametrizar a curva , vamos ver como são os segmentos de reta:
Então, vamos parametrizar cada pedaço da curva separadamente. No segmento de reta , nós vemos que o varia, mas o permanece igual a zero. Logo a derivada de é igual a zero, enquanto varia entre 0 e 2:
Porém quando olhamos para o segmento de reta , observamos que tanto quanto variam. Então vamos colocar em função de , por ser uma reta, essa função é da seguinte forma:
Quando:
Substituindo esses valores na nossa equação, vamos obter o seguinte sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos que:
Pela segunda equação, podemos substituir o valor de e encontrar o valor de :
Logo:
Derivando os dois lados:
Agora sim, chefamos na parametrização do segundo seguimento de reta, nosso caminho :
Passo 2
Show! Agora podemos escrever a integral e resolvê-la:
Não se esquece de substituir os valores de e !!
Vamos resolver separadamente, primeiro vamos fazer o primeiro segmento de reta :
Passo 3
Vamos resolver a segunda integral: