Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = y 2 c o s c o s   z   i → + 2 x y c o s   z   j → - x y 2 s e n   z k → ,   C : r → t = t 2 i →   s e n t j → + t k →   0 ≤ t ≤ π

Passo 1

(a) Fala pessoal. O exercício nos pede para que determinemos uma função f tal que F → = ∇ f . Ou seja, precisamos encontrar uma função potencial associada ao campo conservativo. Isso quer dizer que teremos que achar :

∂ f ∂ x   = F x   ,   ∂ f ∂ y = F y   e       ∂ f ∂ z = F z                

Beleza, sabemos que F → é:

F → x , y = y 2 c o s c o s   z   i → + 2 x y c o s   z   j → - x y 2 s e n   z k →

Então vamos precisar achar as derivadas parciais descritas acima e para que as funções sejam uma única função f teremos que integrar em relação a x :

f ( x , y , z ) = ∫ F x d x   + g ( y , z )

Depois temos que derivar a função potencial em relação a y e depois integrá-la e por último faremos o mesmo em relação a z para achar quem é g ( y , z ) .

O resultado da integração e das diferenciações será a nossa função f ( x , y , z ) .

(b)Agora ele nos pede para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva :

C : r → t = t 2 i →   s e n t j → + t k →               0 ≤ t ≤ π

Isso quer dizer que ele já os deu a curva parametrizada r → t = 〈 t 2 , s e n   t   , t 〉 .

Então o que precisamos fazer é achar o valor da função nos pontos   r ( 0   )   e   r ( π ) e achar f ( r ( 0 ) ) e f ( r ( π ) ) , Porque como o campo é conservativo podemos dizer que :

∫ C F → ⋅ d r → = f ( r ( π ) ) - f ( r ( 0 ) )

Vamos lá?

Passo 2

Primeiro passo então é achar as derivadas parciais :

F → x , y = y 2 c o s   z   i → + 2 x y c o s   z   j → - x y 2 s e n   z k →

Em relação a x :

∂ F x ∂ x = y 2 c o s   z  

Em relação a y :

∂ F y ∂ y = 2 x y c o s   z  

Em relação a z :

∂ F z ∂ z = - x y 2 s e n   z

Muito cuidado nessa parte, a f��rmula que vimos nos dizia que :

∂ f ∂ x   = F x   ,   ∂ f ∂ y = F y   e       ∂ f ∂ z = F z                

Ou seja, isso é uma igualdade, quer dizer que as derivadas parciais da função que vamos descobrir tem essa relação com o campo que ele nos deu.

Passo 3

Agora que identificamos as derivadas parciais vamos integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ y 2 c o s   z   d x

∫ ∂ F x ∂ x = x y 2 c o s   z

Podemos substituir na função padrão:

f ( x , y , z ) = ∫ F x d x   + g ( y , z )

f = x y 2 c o s   z + g ( y , z )

Passo 4

Legal! Agora vamos achar g ( y , z ) :

Vamos começar pela derivada da função potencial determinada em relação à y :

f = x y 2 c o s   z + g ( y , z )

∂ f ∂ y = 2 x y c o s   z + ∂ g ∂ y ( y , z )

Opa, mas calma aí, nós sabemos que :

∂ f ∂ y = F y = 2 x y c o s   z

Então vamos substituir o valor da derivada:

2 x y c o s   z = 2 x y c o s   z + ∂ g ∂ y ( y , z )

Sendo assim :

∂ g ∂ y ( y , z ) = 0

E sua integral será :

∫ g y ( y , z ) d y = 0

Agora sabemos que a função g y , z não depende de y ,então podemos reescrevê-la sendo :

g y , z = h ( z )

Substituindo em :

f = x y 2 c o s   z + g ( y , z )

f = x y 2 c o s   z + h ( z )

Passo 5

Show! Agora vamos fazer o mesmo procedimento em relação a z :

Vamos derivar a função potencial em relação a z :

f = x y 2 c o s   z + h ( z )

∂ f ∂ z = - x y 2 s e n   z + ∂ h ∂ z ( z )

Beleza! Sabemos que :

∂ f ∂ z = F z = - x y 2 s e n   z

Substituindo :

- x y 2 s e n   z = - x y 2 s e n   z + ∂ h ∂ z ( z )

Sendo assim temos que :

∂ h ∂ z ( z ) = 0

Vamos integral :

∫ ∂ h ∂ z ( z ) d z = 0 + C

h z = C

Substituindo na função f x , y , z é :

f = x y 2 c o s   z + h ( z )

f x , y , z = x y 2 c o s   z   + C

Passo 6

Beleza pessoal .como já sabemos que r → t = 〈 t 2 , s e n   t   , t 〉 , vamos achar os valores da função para cada ponto :

Temos que o ponto inicial é t = 0 e nesse instante o ponto é:

r → t = 〈 t 2 ,   s e n t ,   t 〉

r → 0 = ( 0,0 , 0 )

E a função nesse ponto é:

f x , y , z = x y 2 c o s   z   + C

f 0,0 , 0 = 0 + C = C

Agora temos que o ponto final é t = π e nesse instante o ponto é:

r → t = 〈 t 2 ,   s e n t ,   t 〉

r → π = ( π 2 , 0 , π )

E a função nesse ponto é:

f π 2 , 0 , π = π 2 . 0 2 . c o s ⁡ ( π ) + C = 0 + C

Então:

f π 2 , 0 , π = C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = + C - C = 0

É isso! O valor de :

∫ C F → ⋅ d r → = 0

Resposta

( a ) f x , y , z = x y 2 c o s c o s   z   + C

( b ) ∫ C F → ⋅ d r → = 0  

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