Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o s   z   j → - x y 2 s e n   z k → ,   C : r → t = t 2 i →   s e n t j → + t k →   0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra determinar a função potencial associada ao campo conservativo vamos supor que o campo F → é:

F → = F x i → + F y j → + F z k →

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( y 2 cos ⁡ z ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , z , digamos g ( y , z ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x y 2 cos ⁡ z + g ( y , z )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y , z ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 2

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = 2 x y c o s   z + g y ( y , z )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = 2 x y c o s   z

E agora vamos igualar os dois lados!

2 x y c o s   z = 2 x y c o s   z + g y ( y , z )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y , z :

g y y , z = 0

∫ g y ( y , z ) d y = 0

g y , z = h ( z )

E a função potencial é:

f x , y , z = x y 2 cos ⁡ z + h ( z )

Mas e agora surgiu mais uma função! Sim, pois ao derivar a função potencial em relação à y surge uma constante em z . Mas calma! O procedimento é o mesmo! Derivar essa última expressão em relação à z , igualar à F z e depois integrar em relação à z ! Vamos lá?

Passo 3

Show! Vamos derivar a função potencial em relação a z : ∂ f ∂ z = - x y 2 s e n   y + h ' ( z )

Beleza! E agora comparando com a componente F z do passo 1 temos:

F z = - x y 2 s e n   z = - x y 2 s e n   y + h ' ( z )

Agora vamos integrar em z :

∫ h ' ( z ) d z = ∫ 0   d z

h z = C

Agora sim aqui C é uma constante mesmo =)

E a função f x , y , z é :

f x , y , z = x y 2 cos ⁡ z + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é t = 0 e nesse instante o ponto é:

r → t = t 2 ,   s e n t ,   t

r → 0 = ( 0,0 , 0 )

E a função nesse ponto é:

f 0,0 , 0 = 0 + C = C

Agora temos que o ponto final é t = π e nesse instante o ponto é:

r → t = t 2 ,   s e n t ,   t

r → π = ( π 2 , 0 , π )

E a função nesse ponto é:

f π 2 , 0 , π = π 2 . 0 2 . c o s ⁡ ( π ) + C = 0 + C

Então:

f π 2 , 0 , π = C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = + C - C = 0

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 0 !

Resposta

( a ) f x , y , z = x y 2 cos ⁡ z + C

( b ) ∫ C F → ⋅ d r → = 0  

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Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) . F → x , y ,z = y z i ^ + x z j ^ + x y k ^ , r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^ , 0 ≤ t ≤ 2