Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C ( x / y ) d s   ,                     C :         x = t 3   ,   y = t 4   ,       1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 1 ≤ t ≤ 2 , 1 e 2 vão ser os limites de integração. Também teremos:

x y = t 3 t 4 = 1 t

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t = 3 t 2 2 + 4 t 3 2   d t = 9 t 4 + 16 t 6   d t

Podemos simplificar essa expressão pra facilitar o cálculo da integral mais a frente:

d s = 9 t 4 + 16 t 6   d t = t 4 ( 9 + 16 t 2 )   d t = t 2 9 + 16 t 2   d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C ( x / y ) d s = ∫ 1 2 1 t ∙ t 2 9 + 16 t 2   d t = ∫ 1 2 t   9 + 16 t 2   d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida, substituindo:

u = 9 + 16 t 2

d u = 32 t   d t

t   d t = d u 3 2

Além disso, vamos aplicar a substuição também nos limites de integração:

t = 1 →     u = 9 + 16 ∙ 1 2 = 25

t = 2 →     u = 9 + 16 ∙ 2 2 = 73

Com isso, temos:

∫ 1 2 t 9 + 16 t 2     d t = 1 32 ∫ 25 73 u   d u

1 32 ∫ 25 73 u 1 2   d u = 1 32 2 3 ∙ u 3 2 25 73 = 1 48 u 3 2 25 73 = 1 48 73 3 2 - 25 3 2

Resposta

1 48 73 3 2 - 25 3 2

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