Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x y z^2 d s , C é o s e g m e n t o d e r e t a d e (- 1 , 5 , 0) a ( 1 , 6 , 4 )

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever uma parametrização para C :

x = 2 t - 1 , y = t + 5 , z = 4 t , 0 <= t <= 1

Também teremos:

x y z^2 = (2 t - 1) (t + 5) (4 t)^2 = (2 t^2 + 9 t - 5) (16 t^2) = 32 t^4 + 144 t^3 - 80 t^2

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t = sqrt((2)^2 + (1)^2 + (4)^2) d t = sqrt(21) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C x y z^2 d s = int_0^1 sqrt(21) (32 t^4 + 144 t^3 - 80 t^2) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida:

int_0^1 sqrt(21) (32 t^4 + 144 t^3 - 80 t^2) d t = sqrt(21) [(32 t^5)/(5) + 36 t^4 - (80 t^3)/(3)]_0^1 = sqrt(21) ((32)/(5) + 36 - (80)/(3)) = (236 sqrt(21))/(15)

Resposta

(236 sqrt(21))/(15)

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