Enunciado

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = 〈t , 3 cos t , 3 sen t〉 , - 5 <= t <= 5

Passo 1

Temos que r (t) = 〈t , 3 cos t , 3 sen t〉 , e para encontrarmos o comprimento dessa curva, o primeiro passo é derivar a função.

Então, temos que:

r ' (t) = 〈1 , - 3 sen t , 3 cos t〉 ,

Passo 2

Feito essa passo, precisamos agora calcular |r^' (t)| . Então vamos la!

|r^' ( t )| = sqrt(1^2 + (- 3 s e n t)^2 + (3 cos t)^2)

Isso nos da que:

|r^' ( t )| = sqrt(1 + 9 sin^2 t + 9 cos^2 t)

=> |r^' ( t )| = sqrt(1 + 9 ( sin^2 t + cos^2 t ))

Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1

Então,

|r^' ( t )| = sqrt(1 + 9 * 1) = sqrt(10)

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

int_a^b |r^' ( t )| d t

Note que nosso intervalor é:

- 5 <= t <= 5

E que encontramos

|r^' ( t )| = sqrt(10)

Assim,

int_(- 5)^5 sqrt(10) d t = (sqrt(10) t|_(- 5)^5 = (sqrt(10) * 5) - (sqrt(10) * (- 5)) = 10 sqrt(10)

E fechamos o exercício o/

Resposta

10 sqrt(10)

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