Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y d s   ,                     C :         x = t 2   ,   y = 2 t   ,       0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 ≤ t ≤ 3 , 0 e 3 vão ser os limites de integração. Como y = 2 t , substituímos y = 2 t . E além disso, temos:

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t = 2 t 2 + 2 2   d t = 4 t 2 + 4   d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C 2 t d s = ∫ 0 3 2 t 4 t 2 + 4   d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida, fazendo a substituição u = 4 t 2 + 4 → d u = 8 t d t :

∫ 0 3 2 t 4 t 2 + 4   d t = 2 ∫ 0 3 t u 8 t   d u

Simplificando:

1 4 ∫ 0 3 u   d u

= 1 4 2 u 3 2 3 4 40 = 1 6 40 3 / 2 - 4 3 / 2 = 4 3 10 10 - 1

Resposta

4 3 10 10 - 1

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