Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) .

F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^ ,     r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C F → ⋅ d r →

Nesse caso, a curva é dada por r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ . Logo, x = t 2 e y = - t 3 . Assim,

d r → = r → ' t   d t = 2 t   i ^ - 3 t 2   j ^   d t

F → é reescrito como

F → = t 2 2 - t 3 3 i ^ - - t 3 t 2 j ^ = - t 13 i ^ + t 4 j ^

Portanto,

F → ⋅ d r → = - t 13 i ^ + t 4 j ^ ⋅ 2 t   i ^ - 3 t 2   j ^   d t = - 2 t 14 - 3 t 6   d t

Passo 2

Assim, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 0 1 - 2 t 14 - 3 t 6   d t

Fazendo a integral:

I = - 2 15 t 15 - 3 t 7 7 0 1 = - 2 15 - 3 7

Logo,

I = - 14 105 - 45 105 = - 59 105

Resposta

I = 31 105

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