Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y   d s

C: x = t^2, y = t, 0 <= t <= 2

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C y   d s

Para isso, lembre-se que

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Nesse caso,

x = t 2             e           y = t

Logo,

d x d t = 2 t           e           d y d t = 1

Assim,

d s = 4 t 2 + 1   d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 0 2 t   4 t 2 + 1   d t

Para resolver essa integral, fazemos a seguinte mudança de variável:

u = 4 t 2 + 1 ⇒ d u = 8 t   d t ⇒ t   d t = d u 8

Logo,

I = 1 8 ∫ 1 17 u   d u = 1 8 ∫ 1 17 u 1 / 2   d u

Fazendo a integração:

I = 1 8 2 3 u 3 2 1 17 = 1 12 ( 17 17 - 1 )

Resposta

I = 1 12 ( 17 17 - 1 )

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