Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y = z   i + y   j - x   k   ,                     r t = t   i + s e n   t   j + cos ⁡ t k   ,           0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 π F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = cos ⁡ t i + s e n   t   j - t   k

r ' t = i + cos ⁡ t j - s e n   t   k

Então,

∫ 0 π F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 π cos ⁡ t , s e n   t ,   - t   .   1 , cos ⁡ t ,   - s e n   t   d t = ∫ 0 π cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t + t   s e n   t d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 π cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t + t   s e n   t d t = s e n   t + s e n 2   t 2 + s e n   t - t cos ⁡ t 0 π = 0 + 0 + 0 - π - 1 - 0 - 0 - 0 - 0 = π

Resposta

π

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Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 i → + x j → + z k → sobre uma partícula ao longo de C , que é mostrado na Figura 9.34.
Calcular a integral I = ∫ C ( e x d x + z d y + cos ⁡ y d z ) ao longo de C , que é mostrado nas figuras 9.35 , 9.36 e 9.37 .
7. Determinar o trabalho realizado pela força f → x , y , z = ( y , x , z 2 ) para deslocar a partícula ao longo da hélice dada por r → t = ( 2 cos ⁡ t ,2 sen ⁡ t ,2 t ) do ponto A ( 2,0 , 0 ) ao pont