Enunciado

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2

C é a circunferência x 2 + y 2 = 25 , orientada no sentido horário

Passo 1

Uma curva tem orientação positiva se for orientada no sentido anti-horário, da maneira que está descrita a curva temos uma orientação negativa, então para aplicar o teorema, precisaremos usar na integral sobre - C , pela relação

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

Onde a segunda integral tem orientação positiva e podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Aplicando o teorema na segunda integral

∫ - C e x + x 2 y , e y - x y 2 ⋅ d r = ∬ D ∂ ∂ x e y - x y 2 - ∂ ∂ y e x + x 2 y d A

= ∬ D - y 2 - ( - x 2 )   d A = - ∬ D ( x 2 + y 2 )   d A

Calculando em coordenadas polares temos

= - ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 r   d r d θ = - ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 5 r 3   d r

= - 2 π 5 4 4 = - 625 2 π

Como temos

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

∫ C F ⋅ d r = 625 2 π

Resposta

∫ C F ⋅ d r = 625 2 π

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