Calcule a integral

∫ sec ⁡ y tg ⁡ y   d y 2 + sec ⁡ y

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ sec ⁡ y tg ⁡ y   d y 2 + sec ⁡ y

A princípio, não é fácil perceber alguma primitiva da nossa função. Agora, ao analisar o denominador e o numerador, é possível notar uma relação entre eles. Se fizermos uma mudança de variáveis, chamar u = 2 + sec ⁡ y , consequentemente, temos d u = sec ⁡ y tg ⁡ y   d y . Fazendo esta substituição, obtemos a seguinte integral indefinida.

∫ sec ⁡ y tg ⁡ y   d y 2 + sec ⁡ y = ∫ d u u

Agora, conseguimos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

∫ d u u = ln ⁡ u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln ⁡ u + k = ln ⁡ 2 + sec ⁡ y + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

∫ sec ⁡ y tg ⁡ y   d y 2 + sec ⁡ y = ln ⁡ 2 + sec ⁡ y + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

∫ sec ⁡ y tg ⁡ y   d y 2 + sec ⁡ y = ln ⁡ 2 + sec ⁡ y + k

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