Calcule a integral

∫ tg ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x   d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ tg ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x   d x

O nosso primeiro passo é escrever a função t g   x em função de senos e cossenos. Desta forma, temos:

∫ tg ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x   d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x   d x

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis. Se chamarmos u = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) , teremos:

d u = [ ln ⁡ cos ⁡ x ] '

d u = 1 cos ⁡ x ⋅ [ cos ⁡ x ] '

d u = - sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ d x

Fazendo a substituição na integral, obtemos:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x   d x = ∫ - u   d u

E agora, chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 4

Resolvendo a nossa integral, temos:

∫ - u   d u = - u 2 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- u 2 2 + k = - ln ⁡ cos ⁡ x 2 2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

∫ tg ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x   d x = - ln ⁡ cos ⁡ x 2 2 + k

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