Enunciado

Calcule a integral

int tg x ln (cos x) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int tg x ln (cos x) d x

O nosso primeiro passo é escrever a função t g x em função de senos e cossenos. Desta forma, temos:

int tg x ln (cos x) d x = int (sen x)/(cos x) * ln (cos x) d x

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis. Se chamarmos u = ln ( cos x ) , teremos:

d u = [ ln (cos x) ] '

d u = (1)/(cos x) * [ cos x ] '

d u = - (sen x)/(cos x) * d x

Fazendo a substituição na integral, obtemos:

int (sen x)/(cos x) * ln (cos x) d x = int - u d u

E agora, chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 4

Resolvendo a nossa integral, temos:

int - u d u = - (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- (u^2)/(2) + k = - ((ln (cos x))^2)/(2) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int tg x ln (cos x) d x = - ((ln (cos x))^2)/(2) + k

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